dirichletsches Problem

dirichletsches Problem: dirichletsches Problẹm

[diri'kleː-; nach J. P. G. Dirichlet], für die Analysis und deren Anwendungen in der Physik wichtige Aufgabe: Der Rand K eines ebenen Gebietes G bestehe aus endlich vielen geschlossenen, sich nicht überschneidenden ebenen Kurven, die auch einander nicht schneiden. Auf dem Rand K sei eine reellwertige, auf K stetige Funktion u (P ) der Punkte P auf K gegeben. Gesucht wird eine Potenzialfunktion U (x, y ) in G, also eine der Differenzialgleichung

genügende Funktion U der beiden Variablen x und y, die auf der Vereinigungsmenge G ∪ K des Gebietes G mit seinem Rand K stetig ist und die auf dem Rand K mit der gegebenen Funktion u (P ) übereinstimmt. Es gibt höchstens eine solche Funktion. Die Existenz der Lösungsfunktion U (x, y ) im allgemeinen Fall lässt sich unter bestimmten weiteren Voraussetzungen durch das dirichletsche Prinzip beweisen. Dieses besagt, dass unter allen in G ∪ K stetigen und in G stückweise stetig differenzierbaren Funktionen F, die auf dem Rand von G mit u (P ) übereinstimmen, diejenige, für die das dirichletsche Integral

seinen minimalen Wert annimmt, der laplaceschen Differenzialgleichung ΔF = 0 genügt.

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